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Geometría en el hombre y en la naturaleza.

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vacio Geometría en el hombre y en la naturaleza.

Mensaje por Irshah el Lun 02 Mar 2015, 16:04

Os traigo por aquí un artículo curioso que me llamó la atención, buscando ideas sobre cómo podía enfocar más las matemáticas que explico a los crios a la naturaleza.

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La Geometría del hombre...



Antes de entrar en el recinto del Jardín Botánico Atlántico echa una ojeada a tu alrededor. Estas rodeado de creaciones humanas, de objetos artificiales. La huella del hombre es clara. Son objetos en los que prevalecen las rectas, las líneas perpendiculares, los ángulos rectos, los polígonos regulares más simples, curvas fácilmente identificables con las cónicas... Y si pensamos en los objetos espaciales veremos planos, casi siempre perpendiculares entre sí o superficies no demasiado complicadas: superficies regladas, superficies de revolución: cilindros, conos, esferas, paraboloides...         
Es la Geometría simplificada del ser humano: la Geometría de Euclides.        
En algunos objetos artificiales, incluso cuando se ha intentado imitar a la Naturaleza, el resultado aparece demasiado regular.        
Identifica elementos geométricos habituales en los siguientes objetos:
Las líneas rectas no abundan en la Naturaleza...
1.
2.
3.
Los planos tampoco; los cubos menos...
1.
2.
3.
 
A lo largo del paseo encontrarás elementos ornamentales artificiales, en concreto busca un cubo plantado en el suelo. Cuenta sus caras, sus vértices, sus aristas...
Caras: _________
Vértices: _______
Aristas: ________
Comprueba que se cumple la relación de Euler:
C + V = A + 2
 
Cuando se trata de rellenar el plano con baldosas iguales, ya sabes que sólo hay tres polígonos regulares, lados iguales y ángulos iguales, que nos permiten rellenar el plano. Ten cuidado por donde pisas e intenta encontrar  a lo largo del recorrido mosaicos regulares. Aquí tienes una muestra, que la vista no te engañe...
 
Rombos...O cuadrados...
 
En los útiles que aparecen en las distintas exposiciones los cuerpos regulares de caras planas o curvas van a salir a tu encuentro. Además de cubos y prismas rectos encontrarás pirámides, cilindros, conos... Fíjate en su utilidad y sus aplicaciones
 
Pirámides
Cilindros
Conos...
 
Pero el ser humano también aprende de la Naturaleza y de vez en cuando la imita y aprovecha sus formas en su beneficio.
Observa los sumideros de agua, ¿no te recuerdan la distribución de las semillas en algunas plantas o de los pétalos de algunas flores...?
Aunque las plantas lo hacen mejor...
También aprovechamos determinadas propiedades físicas de algunas superficies para optimizar nuestros recursos.
 
 
 
 
Fíjate en los focos de las torres de la primera parte del recorrido. Observa la forma de la superficie en la que se refleja la luz de la lámpara... Nos recuerda a una antena parabólica
¿Qué forma piensas que tiene?
Si dieses un corte transversal por el centro, ¿qué curva obtendrías?
¿Por qué crees que le han dado esa forma?
¿Dónde está colocada la lámpara?
 



2. ...la Geometría de la Naturaleza



”Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, las cortezas de los árboles no son lisas y los relámpagos no se desplazan en línea recta”
Benoît Mandelbrot
Es la misma Naturaleza, y no el matemático, quine introduce las matemáticas en la filosofía natural
I. Kant
¿Qué altura puede alcanzar un árbol?
Euler en 1778 ya respondió a esta pregunta demostrando en su obra “De altitudinem columnarium...” que un árbol no puede crecer indefinidamente ya que, como la espiga de trigo acabaría doblándose sobre su propio peso si se desvía un poco de la perpendicular. Galileo ya había sugerido los 90 metros como altura máxima.
Greenhill demostró que el diámetro de un cuerpo homogéneo y alto debe aumentar con la potencia 3/2 de su altura.
Porque la naturaleza sabe de... máximos y mínimos; de ahorro, eficacia, economía y optimización. Por eso, el mundo vegetal tiene sus propias leyes físicas, que condicionan el crecimiento y las formas de sus elementos, que responden siempre a principios de optimización, economía de medios e interacción con el medio exterior.
En un mundo perfectamente aislado, en un fluido homogéneo, un ser vivo adoptaría la forma de una esfera o de un círculo, el ideal platónico, la forma perfecta:
        La máxima superficie con el mismo perímetro
        El máximo volumen con la misma superficie
¡La forma más democrática e igualitaria! La esfera protege y minimiza los riesgos de agresiones externas. De hecho muchas semillas tienen forma esférica; las hojas de las plantas acuáticas tienden a la forma circular.
Pero en un mundo hostil todo ser vivo necesita competir con otros individuos, luchar por el espacio, el alimento, o la luz... y defenderse de las agresiones externas. A las formas circulares les salen ángulos.
Los ángulos disuaden de los ataques externos, concentran las fuerzas y la posibilidad de penetración y conquistan espacios.
Las hojas se irán alejando de sus formas redondas para acabar convertidas en agujas en los casos extremos.
Y si trata de rellenar espacios con el mínimo de huecos, las semillas nos darán una lección de empaquetamiento óptimo, curvándose en espirales y cerrando el círculo...
 
Si por el contrario hay que maximizar la superficie para intercambiar gases con la atmósfera, o absorber el máximo de luz, la ramificación fractal vendrá en ayuda de la planta.
Si hay que lanzar avanzadillas para conquistar nuevos terrenos o agarrarse a algo para subir más alto, las hélices se incrustarán en las claves genéticas de los vencedores para generaciones posteriores...
En el fabuloso universo vivo del Jardín Botánico nos vamos a encontrar un poema de formas que pueden interpretarse a la luz de las matemáticas y de las leyes físicas, pues todo fenómeno natural, y el crecimiento de las plantas lo es, por sencillo que parezca es en realidad compuesto; y todo efecto visible es la suma de incontables acciones subordinadas. Y las matemáticas manifiestan en este terreno su poder de combinar, relaciones y generalizar.
El crecimiento y las formas de los seres vivos participan de esta naturaleza compuesta y por tanto las matemáticas pueden aplicarse a ellos revelando la potencia de sus métodos.
Los códigos genéticos de las plantas también se basan en el principio de mínima acción, es decir, buscarán la mayor economía a la hora de generar instrucciones de crecimiento. La simetría, axial, central o de giro y la autosemejanza en las distintas etapas de desarrollo de la planta van a abundar en el entorno vegetal. La iteración de instrucciones simples van a hacer a muchos ejemplares de plantas parecerse a estructuras fractales
Helecho natural
Helecho de Barnsley, generado por ordenador
 
Más regularidades de lo que parece...
Las hojas de las plantas suelen crecer en torno a un “nodo” o punto de crecimiento nulo o mínimo. Si no fuera así su forma se aproximaría a un círculo. Observa estas tres figuras:
La primera es una curva reniforme de ecuación
en el interior de un una circunferencia. Las otras dos son las siluetas de hojas de violetas.
Incluso cuando la hoja es compuesta, como esta de castaño, se aproxima bastante a una curva de carácter matemático, en este caso a
 




3. Las curvas botánicas



En apariencia las hojas de las plantas y los pétalos de las flores están hermanados con la poesía y muy alejados de las matemáticas. Sin embargo también podemos acercarnos a los misterios del crecimiento vegetal a través de curvas y de ecuaciones, y además no demasiado complejas.
Existe una familia de curvas, investigada en el siglo XVIII, que parece haber nacido para identificarse con algunas de las flores que podrás encontrar esta primavera en el Jardín botánico y en tus excursiones por el campo.
Se trata de la CONCOIDE DE ROSETÓN, también conocida como PÉTALO GEOMÉTRICO o ROSETÓN DE TROYA
Para interpretar el crecimiento de hojas y flores las coordenadas rectangulares o cartesianas no son las más apropiadas. Recurriremos a las coordenadas polares, en las que las dos variables son el ángulo girado respecto a la horizontal y la distancia al origen.
En estas coordenadas, todas las concoides de rosetón o de rosáceas, como dicen los franceses, tiene esta ecuación general
Cada pétalo base es simétrico respecto del eje OX y se obtiene haciendo variar el ángulo entre
 
Caso a = b
Ejemplo1: Pétalo simple: Caso a = b
n = 5/2
Ecuación
Si hacemos variar  obtenemos la flor completa
Si lo queremos con un círculo central, algo por otra parte muy frecuente en la naturaleza, basta con tomar el valor absoluto del coseno
Ejemplo1: Pétalo simple: Caso a = b
n= 5/2
Ecuación
Si hacemos variar  obtenemos la flor completa
Caso 0 < b < a
Ejemplo1: Pétalo simple: Caso 0 < b < a
n= 7/2
Ecuación
Si hacemos variar  obtenemos la flor completa
 
Se puede observar que el factor b alarga el pétalo mientras que n hace aumentar el número de los mismos en cada circunferencia.
Si introducimos al valor absoluto del coseno, nos volvemos a acercar a la realidad
Ejemplo1: Pétalo simple: Caso 0 < b < a
n = 7/2
Ecuación
Si hacemos variar  obtenemos la flor completa
Caso  b > a
Ejemplo1: Pétalo simple: Caso b > a
n= 7/2
Ecuación
Si hacemos variar  obtenemos la flor completa
 
Hasta ahora en los tres casos hemos "jugado" con n mayor que 1. ¿Qué ocurre si n es menor que la unidad?... Nos adentramos en el mundo de las rosas...
Caso b = a
Ecuación
Caso b > a
Ecuación
Cacahuete
 
Caso b > a
Ecuación
Caso 0 < b < a
Ecuación
Bibliografía:
D´Arcy Thompson. Sobre el Crecimiento y la Forma. Blume Ediciones. Madrid 1980
Courant y Robbins. ¿Qué son las Matemáticas? Fondo de Cultura Económica. México.2002
Hildebrandt y Tromba. Matemáticas y Formas Óptimas. Prensa científica. Barcelona. 1990
Ghyka M. Estética de las proporciones en la Naturaleza y en las Artes. Poseidon. Barcelona. 1983.
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vacio Re: Geometría en el hombre y en la naturaleza.

Mensaje por Irshah el Lun 02 Mar 2015, 16:10

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La sucesión de Fibonacci es la sucesión de números que, empezando por la unidad,  cada uno de sus términos es la suma de los dos anteriores (1,1,2,3,5,8,13,…). Resulta sorprendente que una construcción matemática como esa aparezca recurrentemente en la naturaleza. La distribución de las hojas alrededor del tallo, la reproducción de los conejos o la disposición de las semillas en numerosas flores y frutos se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números. ¿Se trata de una simple casualidad, o existe alguna especie de “plan oculto” que vincula las matemáticas con la naturaleza?

Una sucesión matemática es una aplicación definida sobre los números naturales. Esto, en castellano, quiere decir que es una serie de números que se genera aplicando determinadas reglas. De hecho, es muy sencillo imaginar una sucesión de números, y existen infinitas de ellas. Sin embargo, algunas son más “famosas” que otras. Por lo general, se intenta que las leyes que dan lugar a la sucesión sean lo mas simple y claras posibles. Leonardo de Pisa (1170 – 1250), también conocido como Fibonacci, fue un matemático italiano que se hizo famoso al difundir en Europa el sistema de numeración que emplea notación posicional (de base 10, o decimal) y un dígito de valor nulo (el cero) que usamos en la actualidad. Leonardo también ideó una sucesión de números que lleva su nombre, la llamada “sucesión de Fibonacci”.
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Se trata de una sucesión muy simple, en la que cada término es la suma de los dos anteriores. La sucesión comienza por el número 1, y continua con 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584…, ya que 1 = 0+1; 2=1+1; 3= 1+2; 5=2+3; 8=3+5; 13=5+8=; 21=8+13… etc. Los números de Fibonacci, otro de los nombres que recibe este grupo de  valores, poseen varias propiedades interesantes. Quizás una de las más curiosas, es que el cociente de dos números consecutivos de la serie se aproxima a la denominada “razón dorada”, “sección áurea” o “divina proporción”. Este número, descubierto por los renacentistas, tiene un valor de (1+ raíz de 5)/2 = 1.61803…, y se lo nombra con la letra griega Phi. La sucesión formada por los cocientes (resultados de la división) de números de Fibonacci consecutivos converge, rápidamente, hacia el número áureo. Los griegos y renacentistas estaban fascinados con este número, ya que lo consideraban el ideal de la belleza. Un objeto que tuviese una proporción (por ejemplo, entre el alto y el ancho) que se ajustase a la  sección áurea era estéticamente más agradable que uno que no lo hiciese.
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¿Como es posible que el cociente de dos números de una secuencia inventada por el hombre se relacionase con la belleza? La razón es simple:  la sucesión de Fibonacci está estrechamente emparentada con la naturaleza. Algunos aseguran que Leonardo encontró estos números cuando estudiaba el crecimiento de las poblaciones de conejos, y es muy posible que así sea. Imaginemos que una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, y a partir de ese momento cada vez engendra otra pareja de conejos, que a su vez (tras llegar a la edad de la fertilidad) engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses? Acertaste: cada mes habrá un numero de conejos que coincide con cada uno de los términos de la sucesión de Fibonacci. ¿Asombroso, verdad? Pero hay más.
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Las ramas y las hojas de las plantas son más o menos eficientes para atrapar el máximo de luz solar posible de acuerdo a la forma en que se distribuyen alrededor del tallo. Si miras un poco en tu jardín, verás que no hay plantas en que las hojas se encuentren una justo en la vertical de la otra. En general, las hojas nacen siguiendo una espiral alrededor del tallo. Fijemos nuestra atención en una hoja de la base del tallo y asignémosle el número cero. Luego, contemos cuántas hojas hay en el tallo hasta encontrarnos directamente sobre la hoja "cero". Veremos que en la mayoría de las plantas este número pertenece la sucesión de Fibonacci. Además,  si contamos cuántas vueltas dimos antes de obtener la superposición de las hojas, nuevamente se obtiene un número de la sucesión de Fibonacci.
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El número de espirales que pueden verse en numerosas variedades de flores y frutos también se ajusta a parejas consecutivas de términos de esta sucesión. El ejemplo más frecuentemente citado es la de la flor del girasol, cuya gran mayoría posee 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144 respectivamente.
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Las margaritas también obedecen a esta secuencia, y acomodan sus semillas en forma de 21 y 34 espirales. Las piñas, prácticamente cualquier variedad que encuentres, también presentan  un número de espirales que coincide con dos términos de la sucesión de los números de Fibonacci, por lo general 8 y 13  o 5 y 8. Cuando uno comienza a bucear un poco en la forma en que los vegetales crecen o acomodan sus semillas, pareciera que se han programado en sus [Tienes que estar registrado y conectado para ver este vínculo] los términos de la sucesión de Fibonacci. Sin embargo, solo se trata de los resultados de la evolución, una cuestión meramente práctica que coincide con los números de Leonardo.
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Simplemente, las plantas que acomodan sus semillas de esta forma logran “meter” una mayor cantidad de ellas en el mismo espacio, “economizando” valiosos recursos. A lo largo de los milenios, la [Tienes que estar registrado y conectado para ver este vínculo] las ha premiado con la proliferación, a la vez que ha extinguido a las menos eficientes. La razón por la que los números de Fibonacci pueden encontrarse en tantos ejemplos de la naturaleza, también se relaciona estrechamente con el nexo que existe entre esta sucesión y el número áureo, motivo por el cual los griegos encontraban “tan naturales y agradables” las obras que se basaban en él. Como lo explica el profesor y matemático inglés, Dr. Ron Knott (Universidad de Surrey, Reino Unido):
"¿Por qué encontramos el número Phi tantas veces, al estudiar el crecimiento de los vegetales? La respuesta está en los empaques: encontrar la mejor manera de ordenar los objetos para minimizar espacio perdido. Si te preguntasen cuál es la mejor forma de empacar objetos, seguramente responderías que depende de la forma de los objetos, ya que los objetos cuadrados quedarían mejor en estructuras cuadradas, mientras que los redondos se ordenan mejor en una estructura hexagonal. (…) Pero, ¿cómo ordenar las hojas alrededor de un tallo, o las semillas en una flor, cuando ambas siguen creciendo? Al parecer, la Naturaleza usa el mismo patrón para disponer las semillas en una flor, los pétalos en sus bordes, y el lugar de las hojas en un tallo. Aún más, todos estos ordenamientos siguen siendo eficaces a medida que la planta crece. Este patrón corresponde a un ángulo de rotación a partir del punto central, mediante el cual los nuevos elementos (hojas, pétalos) se van organizando a medida que crecen.
Los botánicos han demostrado que las plantas crecen a partir de un pequeño grupo de células situado en la punta de cada sección que crece: ramas, brotes, pétalos y otras. Este grupo se llama meristema. Las células crecen y se ordenan en espiral: cada una se "dirige" a una dirección manteniendo un cierto ángulo en relación al punto central. Lo asombroso es que un solo ángulo puede producir el diseño de organización óptimo, sin que importe cuánto más va a crecer la planta. De modo que, por ejemplo, una hoja situada en el inicio de un tallo será tapada lo menos posible por las que crecen después, y recibirá la necesaria cantidad de luz solar. Y ese ángulo de rotación corresponde a una fracción decimal del número áureo: 0.618034".
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A una escala mucho mayor, los [Tienes que estar registrado y conectado para ver este vínculo] también se acomodan según los números de  Fibonacci. Sin dudas, es sorprendente la relación que existe entre la matemática y la naturaleza, pero no se trata en absoluto de una casualidad. ¿Qué te parece?
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vacio Re: Geometría en el hombre y en la naturaleza.

Mensaje por ElenaMeyer el Mar 10 Mar 2015, 02:58

Hola Irshah!!

Me hiciste acordar a uno de mis dibu favoritos....

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vacio Re: Geometría en el hombre y en la naturaleza.

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